Jak obliczyć medianę w szeregu rozdzielczym przedziałowym?

Podobają Ci się moje lekcje?

Jeżeli tak, rozważ wysłanie sms o treści koddaa na numer 73480 jako wyraz Twojego uznania dla mojej pracy. Całkowity koszt sms to 3,69zł.

Z góry dziękuję i zapraszam do kolejnych lekcji!

Żeby się w kółko nie powtarzać zakładam, że przerobiłeś już poprzednie lekcje i wiesz co to jest mediana? Jeżeli nie, gorąco do tego namawiam! Tutaj przypomnę tylko, że mediana (inaczej zwana wartością środkową) jest to wartość cechy zmiennej jaką posiada jednostka będąca w środku uporządkowanego szeregu.

Po tym wstępie zapraszam do kolejnej lekcji statystyki ludzkim głosem!

Zadanie
Strukturę wieku pracowników sekcji brukarskiej Zarządu Ulic i Mostów ilustruje następujący szereg rozdzielczy:

Wiek (lata)

xi0-xi1

Liczba
pracowników

ni

20 -25

8

25 - 30

17

30 -35

24

35 - 40

26

40 - 45

15

45 - 50

8

50 - 55

2

Razem:

100

Oblicz i podaj interpretację mediany.

Rozwiązanie
Obliczając medianę zawsze zaczynamy od policzenia pozycji mediany zgodnie ze wzorem:

wzór na pozycję mediany

Oznaczenia:
n - to liczebność badanej zbiorowości. Badaną zbiorowością są pracownicy. Jest ich stu. Czyli:

n = 100.

Podstawiamy do wzoru i obliczamy:

Czyli pozycja mediany równa się 50,5.

Mając obliczoną pozycję mediany dodajemy do siebie po kolei wartości z kolumny “Liczba pracowników” i tworzymy kolumnę “Liczebności skumulowane”, którą oznaczamy nisk.

Wiek (lata)

xi0-xi1

Liczba
pracowników

ni

Liczebności

skumulowane

nisk

20 -25

8

0 + 8 = 8

25 - 30

17

8 + 17 = 25

30 -35

24

25 + 24 = 49

35 - 40

26

49 + 26 = 75

40 - 45

15

75 + 15 = 90

45 - 50

8

90 + 8 = 98

50 - 55

2

98 + 2 = 100

Razem:

100

Następnie patrzymy, w którym przedziale po raz pierwszy zawiera się pozycja mediany (poz.Me = 50,5).
Czy 50,5 zawiera się w 8? Nie! Idziemy dalej. Czy 50,5 zawiera się w 25? Nie, idziemy dalej. Czy 50,5 zawiera się w 49? Też nie… idziemy dalej. Czy 50,5 zawiera się w 75? TAK! Czyli przedział mediany to wiek między 35 a 40 lat.

No dobrze ale ile wynosi mediana? Między 35 a 40 nas nie zadowala. Chcemy mieć konkretną wartość. Dlatego potrzebujemy wzór na medianę w szeregu rozdzielczym przedziałowym. Oto on:

wzór na medianę

Oznaczenia:

xi0 - dolna wartość przedziału mediany. Mediana zawiera się w przedziale 35-40 czyli dolna wartośc to 35.

poz.Me - to pozycja mediany. Wynosi 50,5.

nisk-1 - to liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany. W naszym przypadku ta wartość to 49 (patrz kolumna “Liczebności skumulowane”).

ci0 - to rozpiętość (szerokość) przedziału mediany. Ten przedział to jak już wiemy 35-40. Szerokośc liczymy odejmując dolną wartość od górnej. Czyli:

ci0 = 40 - 35 = 5

ni0 - liczebność przedziału mediany. W przedziale 35-40 mamy 26 pracowników. Czyli:

ni0 = 26

Podstawiamy wszystko do wzoru i liczymy:

Mediany równa się zatem 35,3 (lat).

Interpretacja
50% pracowników ma wiek 35,3 lat lub mniej a pozostałe 50% pracowników ma wiek 35,3 lat lub więcej.

Podobają Ci się moje lekcje?

Jeżeli tak, rozważ wysłanie sms o treści koddaa na numer 73480 jako wyraz Twojego uznania dla mojej pracy. Całkowity koszt sms to 3,69zł.

Z góry dziękuję i zapraszam do kolejnych lekcji!

Komentarzy: 33

  1. hej, wydaję mi sie, że przy wyznaczaniu numeru mediany powinno sie użyć wzoru n/2, ponieważ mamy parzystą liczbę n.
    Pozdrawiam!

  2. Witaj majkel,
    dziękuję za komentarz. Jednak wg mnie w zadaniu jest poprawnie.
    Jak zapewne wiesz, mediana to wartość cechy zmiennej jaką posiada jednostka będąca w środku uporządkowanego szeregu.
    Eksperyment: spójrz na swoją dłoń i pokaż sobie cztery palce (zbiorowość liczy 4 jednostki czyli n = 4, zatem jest parzyste). I pytanie: który palec jest pośrodku? Wg wzoru, który podałeś będzie to palec numer: n/2 = 4/2 = 2. Zagnij zatem plaec drugi od lewej. I co? Zgadza się? Po lewej od zgiętego palca masz jeden palec a po prawej zostały dwa. Coś tu nie gra, prawda? Chyba jednak to nie jest środek.
    Weźmy zatem wzór, który podałem w zadaniu: pozMe = (n+1)/2 = (4+1)/2 = 5/2 = 2.5. Mam zatem zgiąć palec numer… dwa i pół. Oczywiście nie ma takiego palca ale zwróć uwagę, że teraz wiemy, że mediana (czyli środek) jest między drugim a trzecim palcem. Zgadza się?
    PS Tak mnie uczyli i tego się trzymam… bo działa :)
    Pozdrawiam,
    Przemek

  3. DZIEKUJJJJJEEEEE! TY nawet nie masz pojęcia jak mi pomogłeś… teraz to ja zdam:)

  4. jej kolego jesteś normalnie boski.. nigdzie nie mogłam tego znaleść:)
    thx:D

  5. Kasiek, trzymam kciuki! Powodzenia! :)

  6. majk’a,
    boski powiadasz? A co tam, może być boski :) Cieszę się, że mogłem pomóc!
    Pozdrawiam,
    Przemek

  7. A jak obliczyć medianę gdy mam dane tylko frakcje skumulowane, a nie mam n?

  8. Witaj Irka,

    weźmy przykład z tej strony. Mamy podane wartości w kolumnie “Liczebności skumulowane” (8, 25, 49 itd.).
    Wiemy, że przedziałem mediany jest przedział 35-40 lat. Potrzebujemy liczebność tego przedziału (ni0) aby podstawić do wzoru na medianę.

    Liczebność pierwszego przedziału (20-25 lat) jest równa liczbie z pierwszego wiersza kolumny “Liczebności skumulowane” czyli 8.
    W drugim wierszu mamy 25. Liczebność tego przedziału obliczamy odejmując od wartości z tego wiersza (25) liczbę z wiersza poprzedniego (czyli 8). 25 - 8 = 17. Zatem liczebność przedziału 25-30 lat wynosi 17.
    W trzecim wierszu mamy liczbę 49. Od 49 odejmujemy wartość z poprzedniego wiersza (czyli 25) i otrzymujemy liczebność kolejnego przedziału (49 - 25 = 24). Zatem pracowników w wieku 30-35 lat jest 24.
    Dalej w czwartym wierszu mamy 75. Odejmuję od 75 wartość 49 i otrzymuję 26. Zatem liczebność przedziału 35-40 lat wynosi 26. Tą wartość podstawiamy do wzoru (ni0 = 26).

    Pozdrawiam,
    Przemek

  9. stary, twoje przykłady są świetne
    wyczerpujesz temat lepiej niż mój prowadzący od statystyki
    dziękuję i pozdrawiam

  10. Krzysztof, dziękuję za miłe słowa!

    Pozdrawiam,
    Przemek

  11. osmiornica : 2011-03-29, 22:29:49

    z nieba mi spadłes. Dzieki kolego

  12. Dzięki wielkie, mam jutro zaliczenie ze statystyki, a materiały z zajęć było bardzo nieprzejrzyste, że tak się wyrażę. Dzięki Tobie opanowałem średnie, mediany i dominanty we wszystkich 3 przedziałach. Dzięki wielkie !

  13. a co z kwartylami w szeregach przedziałowych bo mam zadanie z którym nic a nic nie mogę sobie poradzić
    czy udziela Pan korepetycji bo ja bardzo ich potrzebuję :)

  14. Genialne!:)

  15. Gratuluję zdolności klarownego tłumaczenia.Wykładowcy niech biorą przykład!Pozdrawiam

  16. Świetnie wytłumaczone tylko czy można by tu zamieścić więcej tematów np wykresy, błędy pomiarów coś na temat dystrybuanty itd

  17. W
    itam, mam problem z odchyleniem standardowym jeżeli 1 przedział mam do 25 lat a ostatni powyżej 65. jak obliczyć środki przedziałów?

  18. a jeśli (ni) mamy w procentach to czy liczmy to w ten sam sposób?

  19. Na 100% jest mini błąd. Wzór na NRme mówi, że jest to (n+1)/2 dla n należących do nieparzystych i n/2 dla n należących do parzystych. Nie ma to zbyt dużego znaczenia nie mniej jednak;)

  20. Witam! Czy można się jakoś skontaktować z autorem tej strony? Bo miałabym kilka pytań. Pozdrawiam!

  21. mam warunek ze staty z egzaminu. niby wszystko ogarniam teraz trwfilam na ta str:)
    czy mozesz podac przyklady do kendalla i badbingtona-smitha?
    np 11 przedsiebiorstw wg warunkow pracy bo to wyczytalam gdzies ale prosze o kilka, o konkrety bo czytajac wyklady mojego wykladowcy to mnie szlag bierze:(
    pozdrwiam-tu jest super:)

  22. Szulamitka : 2012-02-11, 22:19:36

    o jaaaaak pieknie wytłumaczony!! Dzieki wielkie!!

  23. Ja tam w ogóle nie używam wzoru do ustalenia pozycji mediany, nigdy nie dodaję +1, dzielę tylko N na 2, a jakoś zawsze wychodzi mi wynik poprawny… Po co sobie komplikować życie?

  24. Czytam już którąś z lekcji, naprawdę świetnie tłumaczysz, wszystko jest jasne i przejrzyste. Powinieneś wydać podręcznik do staty! ;) Pozdrawiam

  25. idealnie teraz rozumiem :)

  26. jesli ktoś ma lat równo 25 to ciężko wywnioskować czy zalicza się do przedziału gdzie jest ośmiu pracowników czy do przedziału gdzie jest 17 pracowników.

  27. świetniee wytłumaczone, bardzo mi pomogło, dziekujee! pozdrawiam;))

  28. Szkoda że nie jestes kobieta poszedłbyś zamnie na egz

  29. Naprawdę świetnie wytłumaczone. Nie musiałam szukać swoich starych notatek (kto wie gdzie one leżą), tylko tutaj wszystko podane “jak krowie na rowie” - jak to moja babcia mawiała :)
    Gratuluję pomysłu i zapału. Pozdrawiam i trzymam kciuki za rozwój strony.

  30. ja dalej nie rozumiem, szereg jest parzysty tedy gdy suma liczebności jest parzysta czy jak ilość przedziałów? to jedyny temat którego nie rozumiem… dominanta o wiele łatwiejsza… ;/

  31. i nie powinno być poz.Me=(n+2)/2???

  32. ..należę do grupy tzw “starej szkoły” - jestem pod wrażeniem prostoty w sposobie tłumaczenia. Szacunek - Pozdrawiam :)

  33. Stary, dzięki Tobie uwierzyłem, że mogę jeszcze zaliczyć ten mocno zapowiadający się semestr ! Pozdro !

Dodaj swój komentarz