Mediana. Szereg szczegółowy.

Zapraszam do obejrzenia lekcji w formie wideo!

Poniżej na przykładzie zostanie omówiony sposób liczenia mediany w szeregu szczegółowym. Oto treść zadania.

Zadanie

Grupa studentów studiujących w Sopocie w styczniu 2008 roku pisała zaliczenie ze statystyki. Oto oceny z tego zaliczenia:

Polecenie:

Podaj wartość i interpretację: mediany.

Rozwiązanie:

Mediana nazywana jest wartością środkową. Oznaczamy ją tak:

Me

Mediana jest to wartość cechy zmiennej, jaką posiada jednostka stojąca pośrodku uporządkowanego szeregu.

W naszym zadaniu jest to ocena jaką dostał student stojący pośrodku uporządkowanego szeregu. Jakiego szeregu? O co chodzi?

Wyobraź sobie, że przed Tobą stoi naszych 11 studentów. Aby obliczyć medianę pierwsze, co musisz zrobić to ustawić ich rosnąco według ocen. Mówiąc bardziej fachowo musimy uporządkować szereg (naszych studentów) rosnąco (od najmniejszej wartości do największej) według cechy zmiennej (oceny z zaliczenia). Czyli student z najniższą oceną idzie na lewą stronę. I tak po kolei ustawiasz studentów od tego, który dostał najniższą ocenę do tego, który otrzymał najwyższą ocenę.

Nasz szereg po uporządkowaniu wygląda tak:

Gdy mamy już szereg uporządkowany musimy znaleźć studenta, który stoi dokładnie po środku. Jest na to odpowiedni wzór. Wzór na pozycję mediany. Oto on:

Literki „poz” to zapewne skrót od słowa „pozycja”.

Małe n już znamy. To liczebność naszej zbiorowości. Zbiorowość liczyła 11 studentów. Mamy zatem:

Szukamy zatem w szeregu studenta nr 6. Pytamy się tego studenta jaką otrzymał oceną. On grzecznie (w końcu student) odpowiada, że dostał 4. Czyli nasza mediana wynosi 4. Zapiszemy to tak:

Me = 4

Czas na interpretację mediany.

Interpretacja mediany.

50% studentów otrzymało ocenę 4 lub mniej, pozostałe 50% otrzymało ocenę 4 lub więcej.

Spójrz na rysunek czy ta interpretacja ma sens. Skoro student nr 6 stoi po środku to na lewo od niego jest połowa studentów, prawda? Czyli 50%. To samo na prawo od niego. Też jest połowa czyli 50%.

Jak widać ci na lewo od naszego środkowego stuenta (mediany) otrzymali oceny 4, 3 i 2… czyli 4 lub mniej. A ci na prawo otrzymali oceny 4 i 5 czyli 4 lub więcej.

Być może przyszła Ci do głowy myśl. A co jeśli studentów byłoby 10. Jak wtedy znaleźć środkowego?

Odpowiedź jest prosta. Zaczynamy tak samo jak przed chwilą, czyli od uporządkowania studentów rosnąco według ocen.

Powiedzmy, że z naszej grupy studentów odchodzi student z dwójką. Wówczas oceny studentów (po uporządkowaniu) wyglądają następująco:

Następnie obliczamy pozycję mediany wzorem podanym wcześniej.

n = 10

Szukamy, zatem studenta nr 5 i pół. Oczywiście nie ma takiego studenta. Co wtedy robimy? To proste. Szukamy studenta numer 5 i studenta numer 6. Dodajemy ich oceny do siebie i dzielimy na pół. Wynik, jaki otrzymamy będzie naszą medianą. Student piąty otrzymał czwórkę, student szósty otrzymał piątkę. Mamy zatem:

Interpretacja mediany.

50% studentów otrzymało ocenę 4,5 lub mniej, pozostałe 50% otrzymało ocenę 4,5 lub więcej.

Komentarzy: 36

  1. Dzięki za pomoc… Miałem to na matematyce ale po czasie zapomniałem:/

    Napisane bardzo zrozumiale… Wielkie dzięki

  2. no tak wszytsko sie zgadza tylko ze w tym szeregu nie powinno sie stosowac mediany zgodnie z zalozeniem ze stosujemy ja i traktujemy jako wiarygodna wtedy gdy na koncach przedzialow sa wartosci ektremalne(ocena 10 :P??)…tutaj nie ma takowych wiec srednia artmetyczna jest bardziej wiarygodna…moze sie czepiam ale w statystyce niestety sa pewne zasady ktorych sie trzymac trzeba.
    oczywiscie wyjasnione bardzo przejrzyscie.pzdr

  3. ziele,

    nie widzę przeszkód aby obliczyć medianę dla tego przykładu. Brak ekstremalnych wartości (przy okazji - tutaj nie mamy przedziałów) w niczym nie umniejsza “wiarygodności” mediany.
    Średnia arytmetyczna i mediana to dwie różne miary i każda mówi nam co innego o badanej zbiorowości.

    Pozdrawiam,
    Przemek

  4. Wielkie dzieki, naprawde prosto, jasno i zrozumiale, tak jak potrzebowalem.
    Oby wiecej takich artow w sieci a w koncu zdam tą statystyke ;)

  5. wielkie dziekiiiiiii:)

  6. dzięki kolego - bardzo pomogłeś

  7. dziękuje - bardzo mi pomogłeś to łopatologią. oby więcej takich wyjaśnień. raz jeszcze dziękuję.

  8. Tego właśnie szukałem, niech się wikipedia schowa :)

  9. Jest to szereg szczegółowy nieuporządkowany, brak jednostek odstających więc stosujemy klasyczne miary położenia czyli średnią arytmetyczną (i dominantę) a nie medianę.

  10. ziuta, dziękuję za komentarz.

    Zacznę od tego, że dominanta jest miarą pozycyjną a nie klasyczną. Ale to tak na marginesie.

    Jak zauważyłaś jest to szereg szczegółowy nieuporządkowany. Brak w nim jednostek “odstających”. Nic nie stoi jednak na przeszkodzie aby szereg uporządkować i obliczyć medianę, prawda? :)
    Zwłaszcza, że nie chodzi tutaj o jakieś arcyważne badanie a jedynie o pokazania w jaki sposób można obliczać medianę.

    Pozdrawiam i życzę dużo zabawy przy rozwiązywaniu zadań ze statystyki! :)

  11. Tak, dominanta jest miarą pozycyjną ale my na UP stosujemy ją tylko przy miarach klasycznych, przy pozycyjnych nigdy (przy pozycyjnych kwartyle i medianę) .

    Do zaprezentowania metody obliczania to jest super, bardzo przejrzyście i zrozumiale.

    Serdecznie dziękuję za życzenia ale skończyłam rozwiązywać zadania teraz już tylko egzamin z teorii.

    Mogłoby się tylko u Ciebie pojawić coś o przebiegu trendu liniowego :)
    Pozdrawiam,
    Ziuta

  12. Super! Tego właśnie szukałam, nareszcie ktoś potrafił mi to wytłumaczyć. Dostałam takie zadanie domowe w klasie 3 gim :) Dzękuję

  13. Świetnie!!! Żeby wszyscy nauczyciele tak przejrzyście tłumaczyli materiał na lekcjach jak TY to robisz, to mielibyśmy w Polsce samych geniuszy! Nie ma głupich uczniów (poza bardzo nielicznymi, patologicznymi wyjątkami)za to jest wielu mało inteligentnych nauczycieli. Jeszcze raz gratuluję! Gdybym miał konto internetowe natychmiast bym Cię wsparł :)

  14. BOSHE!!!!! GENIALNE TO JEST!!!!!!!!!!

  15. Tłumaczenie genialne! Mam pytanie, czego muszę użyć żeby dokonać analizy zmian wartości sprzedaży, ilości i cen łącznie w dwóch oddziałach, firmach?

  16. Witaj Magda,
    musisz użyć indeksów agregatowych: http://pl.wikipedia.org/wiki/Indeks_agregatowy
    Pozdrawiam,
    Przemek

  17. jestem zachwycona takim tłumaczeniem! dziękuję i pozdrawiam, życząc wielu sukcesów!!!

  18. hanka,
    bardzo się z tego cieszę! :)
    Również pozdrawiam!
    Przemek

  19. bardzo dziękuję za pomoc

  20. Dziekuje za swietne wytlumaczenie. Mieszkam w UK i moj 14 letni syn przygotowuje sie do egzaminow. Przejrzalam jego ksiazki i zadna nie podala tego wzoru na mediane. Cos nam ciagle nie wychodzilo. Dzieki temu wzorowi wszystkie zadania nam wyszly. dziekuje.
    Gora polscy matematycy)))

  21. Bardzo zrozumiale napisane i wytłumaczone;)

  22. dziekuje

  23. Ta stronka ratuje moje życie :*
    Dziękuję :*

  24. super wytłumaczone
    polecam :)

  25. Genialne!!! Love ya!!! <3 ;)

  26. okey :) nie było pytania, zrozumiałem, dziękuję.

  27. mistrz! nie opcji, kolos zdany!:D

  28. Jeeej , bardzoo mi to pomogło.
    Na matmie tak nam to wytłumaczyli, że nikt tego nie zrozumiał, a dzięki Twojej pracy wszystko jest teraz jasne :)

  29. Dzięki za przystępne wytłumaczenie mediany. Miło spotkać osobę, która zna się na statystyce a jednocześnie jest wyposażona w empatię - może sobie wyobrazić stan umysłu matematycznego głąba. Mam nadzieję że na stronie znajdę wyjaśnienia innych strasznych pojęć jak przedziały ufności, size effect, partial correlation itc. Pozdrawiam A

  30. thx :)

  31. super bardzo zrozomiale wytłumaczone

  32. Dziekuję Ci dobry,mądry,wspaniały człowieku :)
    Boże daj nam takich wykładowców!!!!!

  33. Super!!!!!!!!! naprawdę bardzo zrozumiałe wytłumaczenie. Dzięki

  34. Witam, sądziłam, że zadanie z fakturami to jest szereg rozdzielczy punktowy, bo każda faktura ma określoną wartość…według Pana wskazówek wyszło mi źe mediana jest na pozycji 4 czyli wynosi 820 zł
    czy tak?

  35. Joanna, tak, mediana wynosi 820 :)

  36. Magdalena Gawlikowska : 2016-06-04, 23:07:26

    KOCHAM CIĘ GOŚCIU

    Z SZACUNKIEM

    m.g

Dodaj swój komentarz